CIRCUITO RCL

Debemos considerar ahora aquellos circuitos RCL en los que se introducen fuentes de c– c que producen respuestas forzadas, las cuales no se desvanecen cuando el tiempo se hace infinito. La solución general se obtiene por el mismo procedimiento seguido para los circuitos RL y RC: la respuesta forzada se determina completamente, la respuesta natural se obtiene en una forma funcional adecuada que contiene el número apropiado de constantes arbitrarias, la repuesta completa se escribe como suma de las repuestas forzada y natural y por último se determina y aplican las condiciones iniciales a las respuesta completa para hallar los valores de las constantes.

En consecuencia, aunque básicamente la determinación de las condiciones para un circuito que contenga fuentes de c – c no es diferente para los circuitos. La repuesta completa de un sistema de segundo orden, consta de una repuesta forzada, que para una exitación de c – c es constante, v_f (t) = v_f

Y una repuesta natural: v_n(t) = Ae^s1t + Be^{s 2t} .

Por tanto,

v(f)= v_f + Ae^s1t + Be^{s 2t}

Supondremos ahora que ya ha sido determinadas s_1, s₂ y v_f a partir del circuito, quedan por hallar A y B la última ecuación muestra la interdependencia funcional de A, B, v y t , y la sustitución del valor conocidode v para t = 0⁺ proporciona por tanto, una , nosecuación que relacione Ay B. Es necesario otra relación entre A y B y ésta se obtiene normalmente tomando la derivada de la repuesta e introduciendo en ella el valor conocido de dv/dt para t = 0⁺.

dv/dt = 0 + s₁Ae^s1t + s₂Be^{s 2t}

Resta determinar los valores de v y dv/ dt para t = 0⁺, como i_c = C dv_c / dt, debemos reconocer la relación entre valor inicial de dv/dt y el valor inicial de la corriente de algún condensador.

El objetivo es hallar el valor de cada una de las corrientes y tensiones tanto t=0^- como para t=0⁺; conociendo estas cantidades los valores la derivadas requeridas pueden calcular fácilmente.

La corriente constante que pasa por la bobina exige una tensión cero a través de ella, v_L(0 ^-) = 0.

Y una tensión constante a través del condensador exige que pase por el una corriente

cero, i_C(0 ^-) =0.

CIRCUITO RCL EN PARALELO SIN FUENTES

La combinación particular de elementos ideales es un modelo adecuado para varias partes de comunicación, por ejemplo, representa una parte importante de algunos de los amplificadores electrónicos que se encuentran en cualquier receptor de radio, haciendo posible que una gran amplificación de tensión dentro de una gran banda estrecha de frecuencias de la señal y una amplificación casi cero fuera de la banda.

En consecuencia basta decir que la compresión del comportamiento natural del circuito RCL en paralelo es de fundamental importancia para estudios de redes de comunicación y diseño de filtros.

Si una bobina física se conecta en paralelo con un condensador y la bobina tiene asociada con ella a la resistencia óhmica no nula, puede mostrarse que la red resultante tiene un modelo de circuito equivalente, tal como se muestra en la figura.

Las perdidas de energía en la bobina física se tiene en cuenta mediante la presencia de la resistencia ideal, cuyo valor R depende de (pero, no es igual a) la resistencia óhmica de la bobina.

Se puede escribir la ecuación con el circuito de referencia :

_t

v + 1 ∫ v dt – i(t₀) + C dv = 0

R L ^to dt

Obsérvese que el signo menos es consecuencia de la dirección que se a supuesto para i .

v = Ae^st permitiendo que A y s sean números complejos si es necesario.

Si cualquiera de los dos primeros factores se iguala a cero, entonces v(t) = 0. Sumando las ecuaciones diferenciales y agrupando términos semejantes:

C d² (v₁ + v₂) + 1 d(v₁ + v₂) + 1 (v₁ + v₂) = 0

dt² R dt L

Se ve que la suma de las dos soluciones también es una solución, así tenemos la forma de la repuesta natural.

v = A₁^es₁ ^t + A₂^es₂^t

En donde s₁ y s₂ son dos constantes arbitraria, ya que lo exponentes s₁t y s₂t deben ser adimensionales .

Las unidades de este tipo se llaman frecuencias, representemos 1/ √ LC por ω₀ (omega).

ω_{0 =} 1/ √ LC

Llamaremos 1/ 2RC frecuencia neperina o coeficiente de amortiguamiento exponencial y lo representamos por α (alfa).

α = 1/ 2RC

esta última expresión descriptiva se utiliza porque α es una medida de la rapidez con que la repuesta natural decae o se amortigua hasta encontrar un valor final permanente (cero generalmente).Por último s, s₁ y s₂, reciben el nombre de frecuencias complejas, la repuesta natural del circuito RCL en paralelo es:

v(t) = A₁^es₁ ^t + A₂^es₂^t

CIRCUITO RCL EN PARALELO SUPERAMORTIGUADO

Es evidente que si LC > 4R² C ², α será mayor que ω₀ y α² será mayor que ω₀². En este caso, el radical que nos interesa será real y tanto s₁ como s₂ serán reales . Además las siguientes desigualdades,

√ α² - ω₀² < α

(-α -√ α² - ω₀² ) < (-α + √ α² - ω₀² ) < 0

se puede aplicar para mostrar que tanto s₁ como s₂ son números reales negativos. Por tanto la respuesta v(t) puede expresarse como la suma de dos términos exponenciales decrecientes acercándose los dos a cero cuando el tiempo aumenta sin límite. En realidad como el valor absoluto de s₂ es mayor que el de s₁, el término que contiene a s₂ tiene un decrecimiento más rápido y para valores grandes del tiempo, podemos escribir la expresión límite.

V(t) → A₁^es₁ ^t → 0 cuando t → ∞

AMORTIGUAMIENTO CRITICO

El caso superamortiguado está caracterizado por :

α > ω₀

o

LC > 4R² C ²,

Y conduce a valores reales negativos para s₁ y s₂ y una respuesta expresada como la suma algébrica de dos exponenciales negativas. Ajustemos ahora los valores de los elementos de modo que α y ω₀ sean iguales, es éste caso muy especial que se denomina amortiguamiento crítico. Así pues el amortiguamiento se consigue cuando:

α = ω₀

o

LC = 4R² C ²

o

L = 4R² C

Para el amortiguamiento, la ecuación se escribiría de la siguiente manera :

v(t) = A₁^es₁ ^t + A₂^es₂^t

debe observarse que la solución puede expresarse por la suma de dos términos, de los cuales una es la exponencial negativa ya conocida, pero el segundo es t veces una exponencial negativa.

CIRCUITO RCL EN PARALELO SUBAMORTIGUADO

El coeficiente de amortiguamiento α disminuye mientras que ω₀ permanece constante, α² se hace menor que ω² y el radicando que aparece en las expresiones de s₁ y s₂ se vuelve negativo. Utilizando números complejos, la respuesta exponencial se convierte en una respuesta sinusoidal; esta respuesta se compone enteramente de cantidades reales, siendo necesarias las cantidades complejas solo para la deducción.

La ecuación se puede escribir como:

v(t) = e^-αt (A₁^{ejwd t} + A₂ ^-jwd)

escribiendo de la otra forma se obtiene:

v = e^-αt (B₁cosw _dt + B₂senw_dt)

Si estamos considerando el caso subamortiguado, hemos dejado aun lado los números complejos. Esto es cierto, ya que como α, ω_d y t son cantidades reales, también v(t) a de ser una cantidad real y por tanto B₁ y B₂ son cantidades reales.

CIURCUITO RCL EN SERIE SIN FUENTES

Queremos obtener la repuesta natural de un circuito modelo compuesto por una resistencia física concentrada por el circuito LC en serie o en uno RCL, o bien las perdidas óhmicas y las del núcleo ferromagnético de la bobina, o puede ser utilizada para representar todos estos y otros dispositivos que absorban energía . En caso especial el valor de la resistencia real puede incluso a ser exactamente igual que la resistencia medida para el alambre con el que se ha construido la bobina física. El circuito RCL es el dual del circuito RCL en paralelo.

Las condiciones iniciales para la tensión del condensador y la corriente de la bobina son equivalentes a las condicione iniciales para la corriente de la bobina y la tensión del condensador; la respuesta de la tensión se convierte en una repuesta de corriente.

Utilizando el lenguaje dual y obtener , de este modo , una descripción completa del circuito RCL en serie, la ecuación serie :

i(t) = A₁^es₁ ^t + A₂^es₂^t

La forma de la respuesta críticamente amortiguada es:

i(t) = A₁^es₁ ^t + A₂^es₂^t

y el caso subamortiguadores puede escribirse como

i(t) = e^-αt (B₁cosw _dt + B₂senw_dt)

es evidente que si trabajamos en términos de lo parámetros α, ω_0, y ω_d , las formas matemáticas de las repuestas para situaciones duales son idénticas. Un incremento de α en cualquiera de los circuitos en serie o en paralelo, manteniendo ω₀ constante, conduce a una respuesta superamortiguada.

La única precaución que hay que tener es en el cálculo de α, que es 1/2RC para el circuito en paralelo y R/2L para el circuito en serie; así pues aumenta α aumentando la resistencia en serie o disminuye la resistencia en paralelo.

EJEMPLO

El circuito RCL es aplicado en diversas instalaciones compuestas por RC o RL.

La compresión del comportamiento natural del circuito RCL en paralelo es de fundamental importancia paraestudios de redes de comunicación y diseño de filtros

CONCLUSIONES

Se visualizó la configuración general para los circuitos RC, RL y RLC.

Se establecieron las ecuaciones para carga y descarga de un condensador en los circuitos RC.

Se mostró la ecuación general para la corriente en un circuito RL, así como el tiempo dado por la relación entre resistencia e inductancia.

Se entendieron las propiedades de los circuitos RLC.

Se expuso las ecuaciones generales para el análisis de circuitos RLC.

OBSERVACIONES

Un circuito tiene una función específica como se ha estudiado, pero una idea de mejoría puede ser el generalizar cada circuito y poder así, obtener funciones combinadas de todos los circuitos, es decir, que al generalizar cada circuito en sus diagramas no serían tan complejos y diversos, haciendo más fácil su utilización.

RECOMENDACIONES

El estudio de circuitos lleva en si un conceptos básicos se deben ser analizados para poder entender que es un circuito RCL

Se debe distinguir que es un elemento pasivo y uno activo, saber donde están ubicados en el circuito

Para un estudio de redes el RCL se convierte en un tema importante para su diseño y utilización